Pythagoras blijft inspireren

Kleinzoon Jan stuurde kort geleden een filmpje op waarin hij vol overtuiging het bewijs levert van de Stelling van Pythagoras. Schoolopdracht. Voor een rechthoekige driehoek met rechthoekzijden a en b en schuine zijde c geldt: a² + b² = c². Maar dat moet je nog wel even bewijzen. Er zijn in de loop van de tijd allerlei bewijzen geleverd. Ik kwam ergens een getal van boven de 300 tegen! Wie durft dan nog te beweren dat die oude Griekse filosoof niet goed bezig is geweest. Jan had gekozen voor een van de filmisch meest smakelijke bewijzen. Teken een rechthoekige driehoek en knip hem uit. Knip er nog drie gelijke bij en leg ze dan neer zoals op de afbeelding. Hoe het dan verder moet met de twee vierkanten en de vier driehoeken staat hieronder.

De vraag op het einde is voor de liefhebbers. Hint: de rode driehoeken hebben een hoek van 90^o, de andere twee hoeken zijn dan samen ook 90^o.

Kennismaking, zo niet inzicht in de Stelling van Pythagoras is zonder twijfel een mijlpaal in de ontwikkeling van een jongere. Je stapt in de voetsporen van een processie die 2500 jaar geleden op gang kwam. En je bent een belangrijk inzicht rijker geworden: uitgaande van simpele aannames, ook wel axioma’s genoemd, kun je door logisch redeneren een steeds groter bouwwerk aan meetkundige kennis van de grond tillen. Pythagoras heeft het voorgedaan.

Het moet eind 1957 zijn geweest dat ik zelf kennismaakte met “de Stelling van Pythagoras”. Klas 1^dvan het RK Lyceum voor ’t Gooi, gelegen aan de Emmastraat in Hilversum, een paar minuten lopen vanaf de KRO-studio. Meneer Geldermans was dat jaar onze leraar wiskunde. Wij gebruikten de wiskundeboeken van onze rector, dr. Theo Stoelinga. Diens zoon Thom kwam ik veel later tegen op de Utrechtse studentenvereniging Veritas. Wij waren intussen beiden bejaarde reünisten.

Met de stelling van Pythagoras sloeg de school een paar vliegen in een klap. Een eerste inwijding in de wereld van de mathematica en tegelijk een kennismaking met de klassieke oudheid, in dit geval met de Griekse filosofie. Want Pythagoras was op de eerste plaats een filosoof en de mathematica was in zijn tijd een onderdeel van de filosofie. Ik moet wel bekennen dat er in mijn schoolperiode, die eindigde met het diploma Gymnasium β, nauwelijks aandacht was voor Griekse filosofen. Daarom ook deze kleine inhaalslag. 

Over het leven van Pythagoras is opvallend weinig rechtstreeks bekend. Hij werd vermoedelijk rond 570 v.Chr. op Samos geboren en vestigde zich later in Croton, een Griekse stad in Zuid-Italië. Daar creëerde hij een gemeenschap die tegelijk religieus, filosofisch en politiek was. De oudste berichten over hem zijn schaars; uitvoerige levensbeschrijvingen verschenen pas eeuwen later, toen zijn naam al met wonderverhalen was omgeven. Pythagoras zelf heeft geen geschreven erfenis nagelaten. 

In de Pythagoreïsche traditie kregen getallen een plaats die verder ging dan handig tellen of meten. Getal stond voor verhouding, maat en structuur. Dat idee klinkt nu bijna vanzelfsprekend, omdat de wetenschap overal cijfers inzet, maar in de Griekse oudheid was het een gedurfde stap om te denken dat de wereld zelf volgens numerieke verhoudingen is opgebouwd. Niet aarde of water, maar orde en harmonie stonden voor Pythagoras centraal. Getallen, dat wil zeggen hele getallen, vormden de bouwstenen en hun relaties, zoals in de stelling, onthulden de geheimen van het bestaan.

De stelling die nu zijn naam draagt, beschrijft de vaste relatie tussen de drie zijden van een rechthoekige driehoek. Maar Pythagoras is zeer waarschijnlijk niet de bedenker. Kleitabletten uit Babylonië laten zien dat men ruim vóór zijn tijd al werkte met getallenreeksen die precies bij zulke driehoeken horen. Een van de meest duurzame ideeën uit de Pythagoreïsche traditie is dat aangename klankcombinaties samenhangen met eenvoudige getalsverhoudingen (harmonieën). Vanuit die muzikale verhoudingen groeide een veel groter idee: als tonen volgens maat en verhouding ordelijk klinken, zou de kosmos misschien op een vergelijkbare manier zijn opgebouwd. Zo ontstond in de Pythagoreïsche traditie het beeld van een harmonische wereldorde, later vaak aangeduid als de Harmonie der Sferen.

De leer van getallen en harmonie

Voor Pythagoras en zijn volgelingen waren getallen niet alleen rekenkundige objecten, maar vormden ze de fundamentele structuur van de werkelijkheid. Alles in de kosmos — van muziek tot hemellichamen — werd verklaard in termen van getalsverhoudingen en harmonische principes. De overtuiging dat “alles getal is” stond centraal.

Opmerkelijk genoeg leven wij nu in een tijd waarin deze visie in een nieuwe vorm weer aanhangers heeft. Zoals de serieuze wetenschapper Max Tegmark, die de stelling verdedigt dat alle structuren die in de wiskunde bestaan ook natuurkundig moeten bestaan. Het is het omgekeerde van de al langer bestaande verwondering dat de wiskunde steeds weer in staat blijkt een nieuw natuurkundig fenomeen te beschrijven.

En ook het feit dat de natuurconstantes de waarden hebben die ze hebben wekt verbazing. Ze lijken opmerkelijk precies afgestemd te zijn op het bestaan van een universum waarin leven mogelijk is. We hebben het dan over de snelheid waarmee het heelal uitdijt (de kosmologische constante) en de fine-tuning van de sterktes van de vier fundamentele natuurkrachten (elektromagnetisme, zwaartekracht, sterke kernkracht en zwakke kernkracht). Het is duidelijk dat iets andere waardes van deze constantes grote invloed zouden hebben op de levensloop van het universum, op zijn structuur en op de mogelijkheid van het ontstaan van leven.

De bekende fysicus Paul Davies maakte ooit een lijstje van de verklaringen die je tegen kunt komen in het debat over dit Antropisch Principe (een wereldverklaring met het bestaan van de mens als uitgangspunt):

1. Het absurde heelal: het is toevallig zoals het is.
2. Het unieke heelal: door dieperliggende verbanden in de natuurkunde moet het heelal zijn zoals het is. Een theorie van alles zal dit verklaren.
3. Het multiversum: er bestaan meerdere heelallen, met alle mogelijke combinaties van karakteristieken. Uiteraard bevinden we ons in een heelal dat ons bestaan mogelijk maakt.
4. Creationisme: een schepper ontwierp het heelal opzettelijk om intelligent leven mogelijk te maken.
5. Het principe van het leven: door een diep beginsel moet het heelal zich ontwikkelen tot leven en bewustzijn.
6. Het zelfverklarende heelal: misschien kunnen alleen heelallen bestaan waarin bewustzijn mogelijk is. Dit is het Participatory Anthropic Principle (PAP) van de natuurkundige John Wheeler.
7. Het nepheelal: we leven in een simulatie (simulatiehypothese).
   
8. Het model van de vruchtbare universa. Dit model van Lee Smolin houdt een kosmologische natuurlijke selectie in (darwinistisch), waarin heelallen die op het onze lijken meer kans op opvolgers (nageslacht) hebben.

De Tetrakys

We keren terug naar de ideeën van Pythagoras en zijn leerlingen. Veel belang werd toegekend aan de tetraktys die aan de basis ligt van de filosofie van Pythagoras. De basis is één punt, gevolgd door twee, drie en vier punten. Die waren voor de pythagoreeërs belangrijk. Eén is de punt, twee de lijn, drie het vlak en vier het meest eenvoudige lichaam. Van deze getallen leidde men tevens de octaaf (2:1), de vijfde (3:2) en de vierde (4:3) van af.^[2]Als één, twee, drie en vier bij elkaar worden opgeteld, dan krijgt men weer tien. Pythagoras beschouwde dit als het perfecte getal. De tetraktys werd als een goddelijke entiteit beschouwd. In de numerologie was 1 = eenheid, 2 = dualiteit, 3 = harmonie, 4 = rechtvaardigheid. Het combineren van getallen en structuren zoals de tetrakys en daar een betekenis aan geven is tot op de dag van vandaag populair in de wereld van de esoterie. 

De Stelling van Pythagoras en meer.

We beperken ons nu tot de natuurlijke getallen (1, 2, 3, ..., enz.). Het simpelste drietal a, b, c dat voldoet aan de vergelijking a²+ b²= c²  is a=3, b=4 en c=5, immers a²=9, b²=16 en c²=25. Maar daarna wordt het toch zoeken wanneer het weer lukt. Een nieuw pythagorees triplet is (5, 12, 13). Want 5²=25, 12²=144, samen 169 en dat blijkt 13².

Op een gegeven moment hadden de oude Grieken ook een formule waarmee je zo’n drietal kan construeren. Je hebt aan 2 getallen genoeg, we noemen ze m en n. De formule luidt:

(a=m²– n², b=2mn, c=m² + n²) en m moet groter zijn dan n.

We moeten dus laten zien dat weer geldt: a²+ b²= c²

a²= (m²– n²)²= m⁴– 2m²n²+ n⁴

b²= (2mn)²= 4m²n²

Dus a²+ b²= (m⁴– 2m²n²+ n⁴) + 4m²n²= m⁴+ 2m²n²+ n⁴= (m² + n²)²= c²

Het werkt dus!

Je kunt nu spelen met verschillende waarden van m en n.

Laten we eens nemen m = 3 en n = 1. Dan wordt a dus 8, b wordt 6, c wordt 10. En dat drietal klopt, a²=64, b²=36, c²=100

En voor m=7, n=3 vinden we zo a=49-9=40, b=2x7x3=42 en c=49+9=58.

En dus a²=1600, b²=1764, c²=3364, klopt!

En nu de volgende stap

We weten nu dat we voor de simpele stelling a + b = c alle drietallen van de natuurlijke getallen kunnen gebruiken. Bij iedere keuze van a en b hoort een c.

Met de kwadraten van Pythagoras, a²+ b²= c² wordt het al wat lastiger. Niet alle drietallen werken. Maar we hebben een formule om de drietallen die werken te vinden.

De grote vraag (van de wiskundigen) is dan natuurlijk: hoe zit het met de macht 3 en de macht 4, etc.? Bestaan er bijvoorbeeld drietallen van de natuurlijke getallen waarvoor geldt: a³+ b³= c³?

De Laatste Stelling van Fermat

Pierre de Fermat (1607 - 1665), jurist en wiskundige. Hij leverde pionierswerk op het gebied van de differentiaalrekening en de getaltheorie. Hij is ook bekend van de Laatste Stelling van Fermat.

Deze vraag heeft (een klein deel van) de mensheid zeker 2000 jaar beziggehouden voordat er een definitief antwoord kwam. Eerder had de beroemde Franse wiskundige Pierre de Fermat 1637 het volgende genoteerd in de kantlijn van een wiskundeboek (Arithmetica van Gaspard Bachet):

Het is onmogelijk een derde macht op te splitsen in twee derde machten, of een vierde macht in twee vierde machten, of in het algemeen elke macht hoger dan de tweede in twee machten met diezelfde graad: voor welke stelling ik waarlijk een spectaculair bewijs heb gevonden. Deze marge is te smal om het te bevatten.

Deze verklaring staat bekend als de Laatste Stelling van Fermat. Het is zeer onwaarschijnlijk dat Fermat het bewijs ook echt heeft gevonden. De stelling bleek juist, maar het bewijs onwaarschijnlijk complex! Het duurde uiteindelijk nog ruim 350 jaar voor het vermoeden kon worden bevestigd. In die periode werden wel enkele losse gevallen opgelost, onder meer voor de machten 3, 5 en 7.

Probleem opgelost

Andrew Wiles (1953) wist in 1994 de Laatste Stelling van Fermat te bewijzen. Een door kenners voor onmogelijk gehouden prestatie.

In 1994 kwam de Britse wiskundige Andrew Wiles met het volledige bewijs. Nadat hij er eerst zes jaar aan had gewerkt (thuis op zijn werkkamer, en alleen afdalend als het eten klaar stond) kwam hij met een bewijs. Maar er werd een fout in gevonden. Er was op dat moment overigens op de hele wereld maar een wiskundige die in staat was het werk van Wiles te beoordelen! De teleurstelling was enorm. Maar Andrew liet het er niet bij zitten. Hij vertrok opnieuw naar zijn zolder, kreeg de beschikking over nieuw en voor hem essentieel onderzoek, en kwam na een jaar alsnog triomferend de trap af! Het eeuwenoude gepuzzel aan dit probleem kon afgesloten worden. Je zou je kunnen afvragen hoeveel hoogwaardig wiskundetalent daarmee voor hoeveel tijd is vrijgemaakt voor nieuwe opgaven die in de wereld van de wiskunde altijd weer opduiken omdat wiskundigen nu eenmaal niet zonder kunnen. 

En zo wordt het bouwwerk van onze wiskundige inzichten al maar groter en indrukwekkender. En een van de grote uitdagingen zal zeker de vraag zijn of de wiskunde meer is dan de taal waarmee wij de wereld kunnen beschrijven. 

Ja Jan, dat gebeurt er dus als je je ouwe opa een voorzetje geeft!

Gerard van de Schootbrugge, 22 juni 2026